良好的數(shù)學寫作，如同良好的數(shù)學思維一樣，是一項必須通過練習和發(fā)展才能達到最佳效果的技能。本文的目的是為年輕的數(shù)學家在撰寫他們的第一篇論文時提供幫助。其目的不僅在于協(xié)助寫出一篇優(yōu)秀的論文，還在于幫助學生開始思考數(shù)學寫作。如果大家在寫論文的過程中遇到困難，可以點擊藍字鏈接直接咨詢。

一、正式與非正式的闡述

一旦您為論文有了一個基本的大綱，您應(yīng)該考慮“由定義、定理和證明組成的正式或邏輯結(jié)構(gòu)，以及由動機、類比、示例和元數(shù)學解釋組成的互補的非正式或介紹性材料。在任何數(shù)學表述中，這種材料的劃分都應(yīng)顯著地保持，因為該學科的性質(zhì)首先要求邏輯結(jié)構(gòu)清晰。”
這兩種類型的材料并行工作，以使您的讀者在邏輯上和認知上都能理解您的工作（這兩者往往大不相同——在您能夠證明微積分基本定理之前，有多少人認為可以使用反導數(shù)來計算積分？）“由于正式結(jié)構(gòu)不依賴于非正式結(jié)構(gòu)，作者可以先完整詳細地寫出前者，然后再添加后者。”

因此，寫作過程的下一個階段可能是為您的論文的邏輯結(jié)構(gòu)制定一個大綱。幾個問題可能會有所幫助：首先，您到底證明了什么？這些定理所依據(jù)的引理（您自己的或他人的）是什么。這些定理的推論是什么？在決定哪些結(jié)果稱為引理，哪些稱為定理，哪些稱為推論時，問問自己哪些是核心思想。哪些是自然地從其他結(jié)果推導出來的，哪些是論文的真正關(guān)鍵部分？寫作的結(jié)構(gòu)要求您的假設(shè)和推論必須符合線性順序。
然而，很少有研究論文實際上具有線性結(jié)構(gòu)，即引理變得越來越復雜，一個接一個，直到證明了一個定理，然后是一系列越來越復雜的推論。相反，大多數(shù)證明可以用非常復雜的圖表來建模，其中幾個基本假設(shè)以復雜的方式與一些著名的定理相結(jié)合。
可能有幾條看似獨立的推理線在最后一步匯聚。不用說，任何斷言都應(yīng)遵循其依賴的引理和定理。然而，可能有許多線性順序滿足這一要求。鑒于此困難，您有責任首先理解這種結(jié)構(gòu)，其次安排您寫作中必然的線性結(jié)構(gòu)，以盡可能好地反映工作的結(jié)構(gòu)。當然，具體的方式取決于具體情況。

一種有助于揭示您論文復雜邏輯結(jié)構(gòu)的技術(shù)是對結(jié)果進行恰當?shù)拿?。通過適當?shù)孛慕Y(jié)果（引理作為基礎(chǔ)，定理作為真正的實質(zhì)，推論作為最后的工作），您將在引理中創(chuàng)造一種平行感，并幫助您的讀者在沒有與您一起經(jīng)歷研究的情況下，欣賞哪些是真正關(guān)鍵的思想，哪些他們可以更快地瀏覽。

另一種開發(fā)簡潔邏輯大綱的技術(shù)源于保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos）在《如何寫數(shù)學》（HTWM）中的一個警告，即永遠不要重復證明：

如果定理2 的證明中的幾個步驟與定理 1 的證明的部分非常相似，這是一個信號，表明可能有些東西沒有被完全理解。同一問題的其他癥狀是：“使用與定理 1 的證明相同的技術(shù)（或方法、設(shè)備、技巧）……”，或者，更直白地說，“見定理 1 的證明”。當這種情況發(fā)生時，很有可能有一個值得發(fā)現(xiàn)、制定和證明的引理，從這個引理中可以更容易、更清晰地推導出定理 1 和定理 2。（第 35 頁）

在您開始寫論文之前，應(yīng)該仔細考慮這些結(jié)構(gòu)問題，盡管寫作過程本身肯定會幫助您更好地理解結(jié)構(gòu)。

既然我們已經(jīng)討論了正式結(jié)構(gòu)，現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向非正式結(jié)構(gòu)。正式結(jié)構(gòu)包含正式的定義、定理證明格式和嚴格的邏輯，這是“純”數(shù)學的語言。非正式結(jié)構(gòu)補充了正式結(jié)構(gòu)，并與之并行。它使用不太嚴格（但同樣準確?。┑恼Z言，在闡明工作的數(shù)學位置（如我們上面所討論的）以及向讀者呈現(xiàn)更具認知性的工作展示方面發(fā)揮著重要作用。因為盡管數(shù)學家們用邏輯語言寫作，但很少有人實際上用邏輯語言思考（盡管我們確實是邏輯思考），所以為了理解您的工作，通過微妙地展示為什么某事是真實的以及您如何證明這樣的定理，他們將得到極大的幫助。在寫作之前，概述您希望在這些非正式部分傳達的內(nèi)容，很可能會導致更有效的溝通。

在您開始寫作之前，您還必須考慮符號。符號的選擇是撰寫研究論文的關(guān)鍵部分。實際上，您正在發(fā)明一種語言，您的讀者必須學習才能理解您的論文。好的符號首先讓讀者忘記他正在學習一種新語言，其次為您的證明要點提供了一個清晰易懂的框架。另一方面，糟糕的符號是災(zāi)難性的，可能會阻止讀者甚至閱讀您的論文。在大多數(shù)情況下，遵循慣例是明智的。使用ε 表示素數(shù)，或 x(f) 表示函數(shù)，當然是可能的，但幾乎從來都不是一個好主意。

二、撰寫證明

撰寫好證明的第一步是陳述定理。一個措辭恰當?shù)亩ɡ韺⑹棺C明的撰寫容易得多。定理的陳述首先應(yīng)包含完全正確的假設(shè)。當然，所有必要的假設(shè)都必須包括在內(nèi)。另一方面，無關(guān)的假設(shè)只會分散定理的重點，并應(yīng)在可能的情況下予以消除。

在撰寫證明時，就像撰寫整篇論文一樣，您必須以線性順序?qū)懴乱唤M可能不是線性形式的假設(shè)和推論。我建議，在您寫作之前，您規(guī)劃出假設(shè)和推論，并嘗試以一種對讀者造成最少困惑的方式對陳述進行排序。例如：

在《如何寫數(shù)學》（HTWM）中，哈爾莫斯（Halmos）在撰寫證明方面提供了幾個重要的建議：

1. 正向撰寫證明

糟糕教學的一個常見技巧是在證明開始時說：“給定 ε，設(shè) δ 為 ε/2”。這是經(jīng)典分析中傳統(tǒng)的反向證明寫作。它的優(yōu)點是易于被機器驗證（而不是被人類理解），并且它有一個可疑的優(yōu)點，即在最后會得出小于 ε 的結(jié)果。使人類讀者的任務(wù)不那么艱巨的方法很明顯：正向撰寫證明。像作者總是開始的那樣，從小于 ε 的東西開始，然后做需要做的事情——在正確的時間乘以 3M² + 7，稍后除以 24 等等——直到您得到最終的結(jié)果。兩種安排都不優(yōu)雅，但正向的那個是可理解和可記憶的。（第 43 頁）

2. 避免不必要的符號?？紤]：

一個由用等號分隔的一長串表達式組成的證明。這樣的證明很容易寫。作者從第一個方程開始，進行自然的代換得到第二個方程，收集項，置換，插入并立即消去一個有靈感的因子，通過這樣的步驟一直進行，直到得到最后一個方程。這再次是編碼，讀者不僅被迫在閱讀時學習，而且同時還要在閱讀時解碼。
這種雙重努力是不必要的。作者通過再花十分鐘寫一個精心措辭的段落，可以為每個讀者節(jié)省半小時和大量的困惑。該段落應(yīng)該是一個行動的配方，以取代僅僅報告行動結(jié)果并讓讀者猜測它們是如何獲得的無益代碼。該段落會說類似這樣的話：“對于證明，首先用 p 代替 q，收集項，置換因子，最后，插入并消去因子 r。