向量分析(vector analysis)，數(shù)學的一個分支，處理既有大小又有方向的量。有些物理量和幾何量被稱為標量，只要用合適的度量單位來表示它們的大小，就可以完全定義它們。因此，質(zhì)量可以用克來表示，溫度可以用某種刻度的度數(shù)來表示，時間可以用秒來表示。標量可以用時鐘或溫度計等數(shù)字刻度上的點來表示。還有一些量，稱為矢量，需要指定方向和大小。速度、力和位移就是矢量的例子。矢量可以用一條有方向的線段來表示，箭頭指向矢量的方向，線段的長度代表矢量的大小。

一、矢量代數(shù)

矢量的一個原型是一個有向線段AB，可以將其視為表示粒子從其初始位置A到新位置B的位移。為了區(qū)分矢量和標量，習慣上用粗體字母表示矢量。因此，圖1中的矢量AB可以用a表示，其長度(或大小)用|a|表示。在許多問題中，矢量的初始點位置不重要，因此，如果兩個矢量具有相同的長度和方向，則它們被視為相等。

兩個矢量a和b的相等性通常用常見的符號表示為a = b，矢量的基本代數(shù)運算的有用定義是由幾何學提出的。因此，如果在圖1中，AB = a表示粒子從A到B的位移，然后粒子移動到位置C，使得BC = b，顯然，從A到C的位移可以通過單一位移AC = c完成。因此，邏輯上可以寫成a + b = c。這個對a和b的和c的構(gòu)造與平行四邊形法則得出的結(jié)果相同，其中結(jié)果c由以矢量AB和AD為邊的平行四邊形的對角線AC給出。由于矢量BC = b的初始點B的位置不重要，所以BC = AD。圖1顯示了AD + DC = AC，因此滿足了交換律。

對向量加法成立。另外，很容易證明關(guān)聯(lián)律

如果s是一個標量，那么sa或as被定義為一個矢量，其長度為|s||a|，方向取決于s的正負。當s為正時，方向與a相同，當s為負時，方向與a相反。因此，a和-a是大小相等但方向相反的矢量。前述的定義以及標量數(shù)(用s和t表示)的眾所周知的性質(zhì)表明，

二、向量積

向量相乘會產(chǎn)生兩種積，即點積和叉積。兩個向量 a 和 b 的點積或標量積(寫為 a-b)是實數(shù) |a||b| cos (a,b)，其中 (a,b) 表示 a 和 b 的方向夾角、

如果a和b互相垂直，那么它們的點積a·b = 0，如果a和b都不是零矢量，那么點積為零表明這兩個矢量是彼此垂直的。如果a = b，那么cos(a, b) = 1，而a·a = |a|²給出了矢量a的長度的平方。基本代數(shù)的結(jié)合律、交換律和分配律對于矢量的點乘法也是有效的。

其中，n 是垂直于 a 和 b 平面的單位長度矢量，其方向使得右旋螺釘從 a 向 b 旋轉(zhuǎn)時會沿 n 的方向前進(見圖 2)。如果 a 和 b 平行，則 a × b = 0。a × b 的大小可以用以 a 和 b 為鄰邊的平行四邊形的面積來表示。另外，由于從 b 到 a 的旋轉(zhuǎn)與從 a 到 b 的旋轉(zhuǎn)相反、

由此可見，交叉積不是交換律，而是聯(lián)立律 (sa) × b = s(a × b) 和分配律

三、坐標系

由于物理的經(jīng)驗法則不依賴于特殊或偶然選擇的參考坐標系，用于研究物理宇宙的理想工具是矢量分析。引入特殊的參考坐標系建立了矢量與表示這個坐標系中矢量分量的一組數(shù)字之間的對應(yīng)關(guān)系，并且從線段上的運算規(guī)則導出了這些數(shù)字集合的明確操作規(guī)則。

如果選擇了一組特定的三個非共線矢量(稱為基矢量)，那么任何矢量A都可以唯一地表示為平行六面體的對角線，其邊是A在基矢量方向上的分量。常用的是一組三個相互正交的單位矢量(即長度為1的矢量)i、j、k，它們沿著熟知的笛卡爾坐標系的軸方向。在這個系統(tǒng)中，表達式采用如下形式：

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