對于工程學(xué)和物理科學(xué)專業(yè)的學(xué)生來說，復(fù)分析是一門重要的學(xué)科，也是數(shù)學(xué)的核心科目。除了數(shù)學(xué)上的優(yōu)雅之外，復(fù)分析還提供了強大的工具來解決非常困難或幾乎不可能用其他方法解決的問題。這篇文章為大家?guī)?strong>復(fù)數(shù)分析美國留學(xué)生高分?jǐn)?shù)學(xué)輔導(dǎo)講解。

一、關(guān)于復(fù)數(shù)分析

復(fù)數(shù)分析是對復(fù)數(shù)及其導(dǎo)數(shù)、操作和其他性質(zhì)的研究。復(fù)數(shù)分析是一種極其強大的工具，在解決物理問題方面有著意想不到的大量實際應(yīng)用。例如，輪廓積分提供了一種計算困難積分的方法，它通過研究函數(shù)在復(fù)平面靠近積分極限的區(qū)域和積分極限之間的奇異點來計算。

復(fù)分析的關(guān)鍵結(jié)果是柯西積分定理，這也是單變量復(fù)分析擁有如此多漂亮結(jié)果的原因。皮卡爾大定理(Picard's great theorem)就是復(fù)分析意想不到的力量的一個例子，該定理指出，一個解析函數(shù)在本質(zhì)奇點的任何鄰域無限次地假設(shè)每一個復(fù)數(shù)，可能只有一個例外!

復(fù)數(shù)分析的一個基本結(jié)果是考奇-黎曼方程(Cauchy-Riemann equations)，該方程給出了一個函數(shù)必須滿足的條件，才能使導(dǎo)數(shù)的復(fù)數(shù)廣義化(即所謂的復(fù)數(shù)導(dǎo)數(shù))存在。當(dāng)復(fù)導(dǎo)數(shù)的定義 "無處不在 "時，函數(shù)就被稱為解析函數(shù)。

二、連續(xù)性

我們從一個相當(dāng)微不足道的復(fù)值函數(shù)開始。假設(shè) f 是實變量的復(fù)值函數(shù)。這意味著，如果 x 是實數(shù)，f(x) 就是復(fù)數(shù)，可以分解為實部和虛部：f(x) = u(x)+i v(x)，其中 u 和 v 是實變量的實值函數(shù);也就是我們在實微積分中熟悉的對象。如果 u 和 v 在 x0 處連續(xù)，我們就說 f 在 x0 處連續(xù)。

復(fù)變的復(fù)值函數(shù)的連續(xù)性是一個非難性質(zhì)。如果一個函數(shù)在 z 接近 zo 時接近 f(zo) 的值，那么這個函數(shù)在點 zo 上就是連續(xù)的。由于 z 位于復(fù)平面(也稱阿甘平面)中，它可以從多個方向接近該點。因此，我們需要完善我們的定義，以滿足新的需求。

形式上，如果對于任意 ε>0 存在一個 δ>0，使得所有 |z-zo|<δ 的 |f(z)-f(zo)|<ε ，我們就說 f(z) 在 zo 處是連續(xù)的。因此，只要 z 位于以 zo 為圓心、半徑為 δ 的圓盤(稱為 zo 的鄰域)內(nèi)，且函數(shù)接近 f(zo) 的值。

三、解析性

建立了復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性概念后，我們就可以深入研究復(fù)變函數(shù)的微分了。在討論復(fù)變函數(shù)微分的過程中，我們會發(fā)現(xiàn)這類函數(shù)需要滿足一個重要的標(biāo)準(zhǔn)，即考奇-黎曼方程(Cauchy-Riemann equations)。如果類比一下，我們就會知道，要使實變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在給定點上有限存在，該函數(shù)在該點上應(yīng)該是連續(xù)的。復(fù)變函數(shù)的類似標(biāo)準(zhǔn)是考奇-黎曼方程。我們很快就會在下面的討論中看到證明。

實變量的復(fù)值函數(shù)很容易微分，即 f'(x)=u'(x)+iv'(x)，其中 f(x) 是實變量 x 的復(fù)值函數(shù)。這并沒有什么新奇之處。

四、了解更多

我們知道，復(fù)變量 z 本身實際上是兩個實變量 x 和 y 的一對。我們將 z 畫成復(fù)平面上的一個點，并用有序?qū)?(x,y) 表示 z=x+iy。因此，這就帶來了一個問題，即如何從復(fù)變函數(shù)微分復(fù)值函數(shù)。正如我們所預(yù)料的，導(dǎo)數(shù)的定義類似于實數(shù)微積分：

因此，第一個挑戰(zhàn)就是如何使 δz 變小。在復(fù)平面上，我們可以從多個方向?qū)崿F(xiàn)這一目標(biāo)。從定義中可以看出，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在取極限時不能改變。否則，每次切換極限都會得到新的導(dǎo)數(shù)。事實上，我們正在做的事情是，研究當(dāng)我們?nèi)?δz?0 時，或者換句話說，取 δx?0 和 δy?0 時，函數(shù) f(z) 是如何變化的。從本質(zhì)上講，我們的導(dǎo)數(shù)不能因為改變?nèi)O限的順序而改變。而改變?nèi)O限的順序并不總能保證數(shù)值不變（每個數(shù)學(xué)家都能編出一個函數(shù)來證明這個命題！）。因此，可微分性在復(fù)數(shù)世界中是一個非同小可的屬性。

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