ENGR20005旨在讓學(xué)生掌握解決常見物理工程問題的計(jì)算工具。講座的重點(diǎn)是典型的物理工程問題，以及通過有效實(shí)施經(jīng)典算法解決這些問題。這篇文章為大家?guī)戆闹弈珷柋敬髮W(xué)ENGR20005留學(xué)生課程指南。

一、課程簡(jiǎn)介

指示性內(nèi)容：基本編程概念和結(jié)構(gòu)，如：數(shù)組、循環(huán)、條件語句和函數(shù);數(shù)值計(jì)算技術(shù)，如：求根、線性代數(shù)方程組、最小二乘法、插值、微分、積分、常微分方程數(shù)值積分和兩點(diǎn)邊界值問題、數(shù)值穩(wěn)定性和收斂性、使用傅立葉分析的數(shù)值方案。

二、什么是數(shù)值分析?

數(shù)值分析是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它使用數(shù)值近似法解決連續(xù)問題。它涉及設(shè)計(jì)能給出近似但精確數(shù)值解的方法，這在精確解無法計(jì)算或計(jì)算成本過高的情況下非常有用。數(shù)值分析還包括確定這些方法的收斂性、準(zhǔn)確性、穩(wěn)定性和計(jì)算復(fù)雜性。

MATLAB廣泛用于工程、計(jì)算金融和計(jì)算生物學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用數(shù)值分析。它提供了一系列數(shù)值方法，用于

插值、外推法和回歸法

微分和積分

線性方程組

特征值和奇異值

常微分方程 (ODE)

偏微分方程 (PDE)

您還可以使用 MATLAB 產(chǎn)品系列執(zhí)行快速傅立葉變換、正交、優(yōu)化和線性規(guī)劃。此外，您還可以使用 MATLAB 語言對(duì)向量和矩陣運(yùn)算的內(nèi)置支持，創(chuàng)建和實(shí)施自己的數(shù)值方法。

三、數(shù)值分析講解

工程中的數(shù)值方法是用于解決過于復(fù)雜或無法用分析方法解決的工程問題的數(shù)學(xué)技 術(shù)。這些方法涉及使用計(jì)算機(jī)和算法等計(jì)算工具近似求解。它們?cè)跈C(jī)械、土木、電氣、航空航天等各種工程領(lǐng)域發(fā)揮著至關(guān)重要的作用，在這些領(lǐng)域中，復(fù)雜的系統(tǒng)和現(xiàn)象需要進(jìn)行數(shù)值模擬、分析和優(yōu)化。

以下是工程學(xué)中使用的一些關(guān)鍵數(shù)值方法：

1. 尋根方法：

- 牛頓-拉夫遜法： 用于通過迭代精煉解法找到非線性方程的根。

- 分段法： 一種在指定區(qū)間內(nèi)尋找實(shí)值函數(shù)根的簡(jiǎn)單方法。

2. 數(shù)值積分與微分：*

- 梯形法則、辛普森法則： 計(jì)算定積分的近似積分法。

- 有限差分法： 用于數(shù)值微分和通過導(dǎo)數(shù)離散化解微分方程。

3. 線性系統(tǒng)的求解：

- 高斯消元法： 通過行運(yùn)算求解線性方程組的方法。

- LU 分解： 將矩陣分解為下三角矩陣和上三角矩陣，以高效求解系統(tǒng)。

- 迭代法(如雅可比法、高斯-賽德爾法)： 通過迭代改進(jìn)猜測(cè)來近似求解。

4. 常微分方程(ODEs)的數(shù)值解法：

- 歐拉法： 使用離散步驟求解 ODE 初始值問題的簡(jiǎn)單方法。

- Runge-Kutta 方法：高階方法，為求解 ODE 提供更好的精度和穩(wěn)定性。

5. 偏微分方程(PDEs)的數(shù)值解法： 5.

- 有限差分法： 將空間和時(shí)間離散化，近似導(dǎo)數(shù)來求解偏微分方程。

- 有限元法： 將復(fù)雜域劃分為較小的元素，利用變分原理求解偏微分方程。

6. 優(yōu)化技術(shù)：

- 梯度下降法： 用于通過向最陡峭下降方向迭代移動(dòng)來找到函數(shù)的最小值。

- 遺傳算法： 受生物進(jìn)化和選擇過程啟發(fā)的優(yōu)化方法。

- 模擬退火法： 一種模仿冶金退火過程的概率優(yōu)化算法。

7. 特征值問題的數(shù)值解法：

- 冪迭代法： 用于找到矩陣的主特征值和相應(yīng)的特征向量。

- QR 算法： 用于查找矩陣所有特征值和特征向量的迭代法。

8. 微分代數(shù)方程(DAEs)的數(shù)值方法：

- 逆微分公式： 用于求解剛性微分方程系。

- 齒輪法： 用于求解微分代數(shù)方程的隱式方法系列。

這些數(shù)值方法使工程師能夠分析復(fù)雜系統(tǒng)、預(yù)測(cè)行為、優(yōu)化設(shè)計(jì)并做出明智決策。這些方法使用編程語言和專用軟件包實(shí)現(xiàn)，其效率和精度取決于離散化方案、收斂標(biāo)準(zhǔn)和數(shù)值算法的選擇等因素。

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